向量范数（norm）是给一个向量量“有多大”的函数：输入一串数，输出一个非负实数。就像量身高可以用厘米，也可以用英尺，向量也有多把尺子，最常用的是 L1 范数（L1 norm）和 L2 范数（L2 norm）。
设向量 x = (x1, x2, ..., xn)。L1 范数等于各分量绝对值之和；L2 范数等于各分量平方和再开根号，就是勾股定理推广到多维。拿 x = (3, -4) 举例：L1 是 3 + 4 = 7，L2 是 √(9 + 16) = 5。同一个向量，两把尺子给出不同数字，没有谁“错”，只是量的角度不同。
生活化比喻：从原点走到 (3, -4)，如果只能沿街道横平竖直走，步数是 7，这就是 L1，也叫曼哈顿距离；如果能穿楼直线飞过去，距离是 5，这就是 L2，也叫欧几里得距离。L1 像按街区计费，L2 像无人机直线距离。
和相邻概念的区别：
- 范数 vs 距离：范数是“一个点到原点的长度”；两个向量的距离，通常是把它们相减再取范数，如 ||a - b||₂。
- 范数 vs 正则化（regularization）：正则化是把范数当作惩罚项塞进损失函数。L1 正则化（Lasso）倾向把一些权重压到恰好为 0，得到稀疏解，可用于特征选择；L2 正则化（岭回归、权重衰减）把权重整体压小但不常为 0，训练更平滑。
- L0 常被口语化地叫“零范数”，但它不满足齐次性，严格说不是范数，只是数非零分量的个数；L∞ 范数取最大绝对值，是另一把尺子。
| 对比项 | L1 范数 | L2 范数 |
|---|---|---|
| 几何别名 | 曼哈顿距离 | 欧几里得距离 |
| 计算方式 | 绝对值相加 | 平方和开根 |
| 大分量的代价 | 线性增长 | 平方增长，惩罚更重 |
| 正则化效果 | 易产生稀疏权重 | 权重整体收缩、更平滑 |
| 对异常偏差 | 相对不敏感 | 更容易被放大 |
对从业者，做向量检索时，嵌入向量（embedding）的“相似”取决于尺子：AI 词典：余弦相似度">余弦相似度（cosine similarity）看方向，L2 距离看绝对位置，二者在向量已归一化时关系密切；具体实现以官方文档为准。做梯度裁剪（gradient clipping）、对抗扰动评估时，也要说明用的是哪个范数，否则“扰动很小”没有共同标准。对普通人，理解这两把尺子，能看懂搜索、推荐和风控系统里“相似”“异常”“惩罚”背后的取舍：它们不是自然真理，而是被选定的测量方式。